2025年函数的单调性证明（2025年函数的单调性证明方法）

高中数学,函数单调性的判定和证明方法,提前预习了然于胸

1、判断$f（x_1） - f（x_2）$的符号：若$f（x_1） - f（x_2） 0$，则函数$f（x）$在区间$（x_1， x_2）$上单调递减。若$f（x_1） - f（x_2） 0$，则函数$f（x）$在区间$（x_1， x_2）$上单调递增。导数法 步骤：求出函数$f（x）$的导数$f（x）$。

2、第四种题型：数列的极限。掌握数列极限的定义和求解方法，对于解决数列的长期行为问题至关重要。第五种题型：数列的性质与应用。包括单调性、周期性、奇偶性等性质，以及它们在实际问题中的应用。第六种题型：数列与函数的综合应用。将数列与函数相结合，解决更复杂的问题。

3、这样，学生在整个学习过程中会体会到教材所蕴涵的数学思想、数学方法，从而形成解决问题的方式。

证明函数单调性的一般方法

1、首先，提到函数的单调性时一定要说明单调区间。判断函数的单调性一般有两种方法：定义法；导数法（高二或高三学，暂时不讲）；定义法见图~补充：若已知条件中有定义域为x0且f（1）0，这时应考虑假设x2/x1=x3，此时x31，可利用条件f（1）0。

2、复合函数单调性法则 若函数$u = g（x）$在区间$D$上单调递增（或递减），函数$y = h（u）$在区间$u（D）$上单调递增（或递减），则复合函数$y = h[g（x）]$在区间$D$上单调递增（或递减）。若两者单调性相反，则复合函数在区间$D$上单调递减（或递增）。

3、证明函数的单调性一般可以分为两种情况：证明函数的增减性和证明函数的单调递增性或单调递减性。证明函数的增减性：首先，确定函数的定义域。函数的定义域是指函数自变量的取值范围，确定了定义域后，我们才能对函数的单调性进行讨论。

如何证明函数单调性

首先，提到函数的单调性时一定要说明单调区间。判断函数的单调性一般有两种方法：定义法；导数法（高二或高三学，暂时不讲）；定义法见图~补充：若已知条件中有定义域为x0且f（1）0，这时应考虑假设x2/x1=x3，此时x31，可利用条件f（1）0。

如果需要严格证明某区间上函数的单调性，则观察图象的方法就显得不太可靠了，因此需要用定义证明。步骤：任意取值：即设xx2是该区间内的任意两个值，且x1 0，则为增函数；若差0，则为减函数）。即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”。

证明函数的单调性主要有以下两种方法：使用函数定义证明：步骤：在初等数学中，通常直接根据函数单调性的定义来证明。即对于函数$f$，在区间$I$上任取$x{1}， x{2}$，若当$x{1} x{2}$时，总有$f leq f$，则称函数$f$在区间$I$上单调递增。

若已学过导数，使用导数法证明函数单调性更为便捷。导数的正负直接揭示了函数的增减性质。具体步骤如下：计算函数在区间内的导数y。若y 0，表明函数在该区间内随x增大而增大，即为增函数；若y 0，表示函数在该区间内随x增大而减小，即为减函数。举例说明，假设函数f（x） = x^2 + 1。

定义法 根据函数单调性的定义，在这里只阐述用定义证明的几个步骤：①在区间D上，任取 ， ，令 ；②作差 ；③对 的结果进行变形处理（通常是配方、因式分解、有理化、通分，利用公式等等） ；④确定符号 的正负；⑤下结论，根据“同增异减”原则，指出函数在区间上的单调性。