2025年复变函数第四版答案详解第四章（2025年复变函数第四版答案

史济怀《复变函数》第1.3节参考答案

将 $z_1$，$z_2$，$z_3$ 的表达式代入上式，得到 $（x_2 - x_1） + （y_2 - y_1）i = k[（x_3 - x_1） + （y_3 - y_1）i]$。通过复数相等的条件，我们可以得到两个实数方程：$x_2 - x_1 = k（x_3 - x_1）$ 和 $y_2 - y_1 = k（y_3 - y_1）$。

必要性：若（mathop{lim }limits_{{n rightarrow infty }}z_n = z_0），设（z_n = x_n + iy_n），（z_0 = x_0 + iy_0）。

开域指满足下列两个条件的点集：（1）全由内点组成；（2）具有连通性，即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且 折线上的点全部在此开域内。闭域：开域连同其边界.区域：开域，闭域或开域连同其一部分界点所成的点集.PS：通常来说，域指的是开域。

上半平面可以视为半径无穷大的圆周内部，其圆心位置可任意选取。因此，上述公式实际上意味着将i映射至圆心，-i映射至无穷远点。类似地，其他映射也可以通过这种方式进行分析。因此，确定一个分式线性映射只需明确三个点的具体映射情况。

复变函数:f(z)=2x+iy^2,函数在z0=2i点的极限是否存在?

limf（z）=lim（x趋近于0，y趋近于2）2x+iy^2=lim（x趋近于0）2x+lim（y趋近于2）iy^2=4i z趋近于z0就是xx趋近于0，y趋近于2。

复数的模：复数$z = x + iy$的模为$r = |z| = sqrt{x^2 + y^2} geq 0$，表示复数在复平面上的距离。例如，$|3 + 4i| = sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。模的性质：三角不等式：$|z_1 + z_2| leq |z_1| + |z_2|$（两边之和大于第三边）。

复变函数解析必须要在某一区域可导，单点可导或者直线上点可导都不解析。这两个（1）在z=0可导，（2）在x=y可导，两个都在复平面内处处不解析。

极点：若复变函数f（z）在z0处不解析，但在z0的某去心邻域内解析，且对于任意正整数n，存在常数an≠0，使得f（z）可以表示为f（z）=（z-z0）^（-n）φ（z），其中φ（z）在z0处解析且φ（z0）≠0，则称z0为f（z）的n级极点（或简称极点）。特别地，当n=1时，称z0为f（z）的简单极点。

在复变函数中，考虑函数f（z）=e^z。设z=x+iy，其中x和y均为实数，i为虚数单位。根据欧拉公式，可以将f（z）表示为：e^z=e^x+iy=e^x（e^iy）=e^x（cosy+isiny）这表明f（z）的实部和虚部分别是由e^x和（cosy+isiny）构成的。

复变函数:1/(z+1)z^3在0|z+1|1/2的洛朗级数

原式：=（1/z）[1/（z-i）-1/（z+i）]/（2i）=（1/2z）[1/（1-（-iz）+1/（1-iz）]/2。由于|iz|=|-iz|1，所以直接把后面中括号里的式子，用1/（1-z）=1+z+z^2+…（|z|1）。

∴f（z）=（1/z）∑nz^（n-1）=（1/z）∑（n+1）z^n（n=0，1，2，…，∞）=∑（n+1）z^n（n=-1，0，12……，∞）。供参考。

展开如下：在数学中，复变函数f（z）的洛朗级数，是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。

做洛朗级数的题，首先要看函数的奇点，然后去看题目让你在什么范围内展开成关于什么的洛朗级数，如f（Z）=1/[（z-1）（z-2）]在0|z-1|1内展开成洛朗级数，那么z-1就不能动，就是说你展成的级数中只能是关于z-1的多项式。

求复变函数的答案

直线x=1， 即为z=1+yi w=1/z=1/（1+yi）=（1-yi）/（1+y）即实部a=1/（1+y）虚部b=-y/（1+y）两式相除得：b/a=-y，代入其中一式得：a=1/（1+b/a）即：a=a/（a+b）a+b=a （a-1/2）+b=（1/2）这是以（1/2， 0）为圆心，半径为1/2的圆。

答案如图所示：简介：复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。

化简后得到 $x_1 - 2x_2 + x_3 = 0$ 和 $y_1 - 2y_2 + y_3 = 0$。这表明 $z_2$ 是 $z_1$ 和 $z_3$ 的中点，因此三点共线。（注：由于第6题的具体题目未给出，上述答案示例是基于可能的几何性质应用而给出的。如果实际题目与此不符，请根据实际情况进行调整。

解：设f（z）=（e^z）/cosz。∵当z=（2k+1）π/2（k=0，±1，±2，……，），cosz=0，∴z=（2k+1）π/2是f（z）的一阶极点。