2025年反比例函数图像与性质的教案（2025年反比例函数图像和性质

如何教反比例函数

1、通过对例1的学习使学生掌握如何根据已知条件来求出反比例函数的解析式。在 解题过程中，引导学生运用在求正比例函数的解析式时用到的“待定系数法”，先设反比例函数为，再把相应的x，y值代入求出k，k值的确定，函数解析式也就确定了。

2、k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。1|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

3、反比例函数面试试讲要点 教学目标阐述情感态度与价值观目标：通过探索反比例函数，让学生感受数学的魅力，体验数学学习的奇妙与乐趣，从而树立学好数学的信心。过程与方法目标：引导学生经历探究归纳反比例函数概念的过程，在此过程中培养学生分析问题、解决问题的能力。

4、教学设计方面，备课时需深入理解教材，明确本节课的核心概念和难点，如掌握反比例函数定义及其与一次函数、正比例函数的区别。课前安排“函数”、“一次函数”、“正比例函数”的复习，有效衔接新旧知识，为引入反比例函数概念铺路。情境设置是教学设计的重要环节。

5、正比例：两种相关联的量，一个量X正向变化，另一个量Y也随着正向变化（正向就是同向的意思），数学表达式Y=2X；比如说现在物价上涨，你的零用钱也涨了，这二者之间就是正比例的关系。

正比例和反比例是什么意思???

答案是肯定的，因为实际距离×比例尺=图上距离（一定），所以实际距离和比例尺成反比例。正比例和反比例虽然都是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，但它们的变化规律有所不同。正比例关系中，两种量相对应的两个数的比值一定，而反比例关系中，两种量相对应的两个数的积一定。

正比例是指两个量同步变化，即一个量增加时，另一个量也按相同的比例增加，反之亦然，两量之间的比值始终保持不变。反比例则是指当一个量增加时，另一个量会减少，两数的乘积是一个常数。正比例的具体特点包括： 两个量的增减变化是同步的，即一个量增加的具体数值对应另一个变量同样的增减数值。

正比与反比的定义区分：正比关系指的是两个变量之间的比例系数为正，即一个量的增加伴随着另一个量的同步增加。反比关系则指比例系数为负，即一个量的增加导致另一个量的减少。 图像表示：正比关系通常用直线表示，因为量的增加是同向的。反比关系则用曲线表示，因为量的增加与减少是反向的。

反比例函数函数性质

1、单调性：当k0时，图象分别位于第三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k0时，函数在x0上同为减函数；k0时，函数在x0上同为增函数。

2、反比例函数的性质如下：象限分布：当k大于0时，反比例函数的图像分布在第三象限。这意味着，当x为正时，y也为正；当x为负时，y也为负。当k小于0时，反比例函数的图像分布在第四象限。即，当x为正时，y为负；当x为负时，y为正。

3、反比例函数的性质有：反比例函数$y=k/x$的图象是双曲线。当$k0$时，双曲线的两支分别位于第第三象限，在每一象限内$y$随$x$的增大而减小；当$k0$时，双曲线的两支分别位于第第四象限，在每一象限内$y$随$x$的增大而增大。

4、综上所述，反比例函数具有独特的单调性、与坐标轴的关系、面积性质、对称性和交点性质。

反比例函数图像的性质

|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。对称性 反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图象也是轴对称图形，其对称轴为y=x或y=-x；反比例函数图象上的点关于坐标原点对称。图象关于原点对称。若设正比例函数y=mx与反比例函数 交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。

对称性：图像既是轴对称图形（对称轴为（ y = x ）和（ y = -x ），又是中心对称图形（对称中心为原点）。交点性质：正比例函数（ y = mx ）与反比例函数（ y = frac{n}{x} ）的交点（ A ）、（ B ）关于原点对称（ m ）、（ n ）同号时）。

函数性质，图像特征。函数性质：反比例函数的图像不会与x轴或y轴相交，而是接近x轴或y轴，呈现出双曲线的形状。反比例函数中，当x大于0时，y随x的增大而减小，当x小于0时，y随x的减小而增大。图像特征：反比例函数的性质导致了图像是双曲线的。

反比例函数Y=x/k（k≠0）的图象是双曲线。（1）k时，图像是位于三象限，在每个象限双曲线内，Y随X的增大而减小。（2）k0时，图像是位于四象限，在每个象限的双曲线内，Y随X的增大而增大。（3）注：a.y=x/k中，x≠0，故双曲线的两支是不相连的。

反比例函数常见模型

1、反比例函数图像上任意两点关于原点对称。与$k$有关的面积计算模型 基本模型：已知反比例函数$y = frac{k}{x}$图像上的一个点$P（x，y）$，则过点$P$分别向$x$轴、$y$轴作垂线，与坐标轴围成的三角形面积为$frac{1}{2}|k|$。

2、个模型：【模型 1】正比例函数图像被反比例函数图像所截得的线段相等。【模型 2】一次函数图像被坐标系和反比例函数图像所截得的相等线段。【模型 3】同一象限内反比例函数图像上两点连线的平行线。【模型 4】反比例函数与矩形。【模型 5】反比例函数与最值。【模型 6】反比例函数与黄金分割。

3、反比例函数k的几何意义模型如下：矩形面积模型：对于反比例函数$y = frac{k}{x}$（其中$keq 0$），过其图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N。此时，由PM、PN、OM（x轴上的部分）、ON（y轴上的部分）围成的四边形PMON是一个矩形。

反比例函数的图像和性质

1、反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图象也是轴对称图形，其对称轴为y=x或y=-x；反比例函数图象上的点关于坐标原点对称。图象关于原点对称。若设正比例函数y=mx与反比例函数 交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。反比例函数关于正比例函数y=±x轴对称，并且关于原点中心对称。

2、定义：形如函数 $ y = frac{k}{x} $（$ k $ 为常数且 $ k neq 0 $）的函数称为反比例函数。其中：k $ 称为比例系数，$ x $ 是自变量，$ y $ 是自变量 $ x $ 的函数，$ x $ 的取值范围为不等于 0 的一切实数。

3、反比例函数的图像和性质 反比例函数图像 反比例函数的图像是一条双曲线。具体来说，当函数形式为y = k/x时，其图像位于第一象限和第三象限。这是因为当x为正时，y也为正；当x为负时，y也为负。双曲线的两支分别穿过坐标轴的原点，并且关于原点对称。

4、具体而言，反比例函数的图像展示了一种特殊的关系：当自变量X的绝对值增大时，因变量Y的绝对值会减小，反之亦然。这种特性在不同象限中表现得尤为明显。例如，在第一象限，当X值增加时，Y值会相应减小；而在第三象限，同样地，X值增加会导致Y值减小。

5、图像性质：反比例函数的图像是双曲线，分别位于第三象限或第四象限。这取决于常数$k$的正负：当$k 0$时，图像位于第三象限；当$k 0$时，图像位于第四象限。增减性：在每个象限内，随着$x$的增大，$y$的值是减小的；反之，随着$x$的减小，$y$的值是增大的。