2025年高等数学初等函数图像（2025年初等函数图像及基本性质）

函数的四大性质的基本初等函数有哪些

高等数学将基本初等函数归为五类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。数学分析将基本初等函数归为六类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。下面一一介绍这些函数。

函数的性质主要有有界性、单调性、奇偶性、周期性 。同时函数图像也算是一个性质。初等函数：一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。

映射与函数：从高中到大学的认知升级 知识体系重构 复习高中函数核心概念（定义域、表示法、基本初等函数、四大特性），但通过映射理论重新构建认知框架：函数本质：从数集到数集的对应升级为映射的特例，引入逆映射、复合映射概念。

如何判断一个函数是否是基本初等函数?

根据函数的表达式判断：函数的表达式仅包含基本运算和基本的初等函数，幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和常数等，那么这个函数是初等函数。根据函数的图像判断：初等函数的图像往往呈现出一定的规律性，周期性、对称性等。

函数的结构：初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算或函数的复合而成的，因此可以通过检查函数的结构来判断它是否为初等函数。如果函数可以表示为基本初等函数的四则运算或函数复合的形式，则它是初等函数。

判断一个函数是否为初等函数的关键在于观察该函数是否由基本初等函数通过有限次的四则运算及复合生成。基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。例如，e的x次方是一个初等函数，因为它属于基本初等函数。

基本初等函数有：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。e的3x次方—x—2为初等函数，这是基本初等函数，e的3x次方是初等函数，这是两个基本初等函数的和，e的x次方*x的平方，这也是初等函数，这是两个基本初等函数的积，甚至e的（x的平方）次方也是初等函数。

这里的基本初等函数是指常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往还有其他表示形式。例如 ，三角函数 y=sinx 可以用无穷级数表为y=x-x3/3！+x5/5！-…初等函数是最先被研究的一类函数，它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。为了方便，人们编制了各种函数表，如平方表、开方表、对数表、三角函数表等。

什么是初等函数,什么是高等函数?

初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数，通过有限次的有理运算及有限次函数复合所得到的函数。这些函数可以由一个解析式来准确表示。在定义区间内，基本初等函数与初等函数均表现为连续函数。相比之下，高等数学所涉及的是变量，研究对象是非连续、无法通过单一解析式精确表示的函数。

初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。至今未听说有高等函数这个概念。实系数多项式称为整有理函数。

初等函数的定义呢，是指包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是基本初等函数），以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。

arctan函数的运算法则

1、arctan函数的运算法则如下：运算公式有：arctanA+arctanB=arctan（A+B）/（1-AB）；arctanA-arctanB=arctan（A-B）/（1+AB）。反三角函数中的反正切。一般大学高等数学中有涉及。反三角函数中的反正切。意思为：图像tan（a）=b；等价于Arctan（b）=a。

2、arctan的运算规则介绍如下：arctan 0 = 0 。 arctan 1 = π/4 。 arctan（-x） = -arctan x 。 arctan x+y = arctan[（x+y）/（1-xy）] 。 arctan x-y = arctan[（x-y）/（1+xy）]。 arctan x+arctan y = arctan[（x+y）/（1-xy）] 。

3、为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2yπ/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0yπ。

4、因此，arctanx的导数就是1/（1+x）。导数是函数微分的基本概念，对于任何可导函数f（x），它的导函数f（x）表示函数在某一点的瞬时变化率。求导是对给定函数在特定点的局部线性逼近，实际上是通过极限的概念来确定。导数的运算法则，如加减乘除法则，都是极限运算的延伸。

5、arctanx＝x-1/3*x^3+1/5*x^5-1/7*x^7+1/9*x^9+...+（-1）^（n+1）/（2n-1）*x^（2n-1）使用条件：麦克劳林公式无论什么条件下都能使用，关键是展开的项数不能少于最低要求。x的趋向是要求的极限决定的，与展开式无关。注意是参与加减运算的两部分的极限必须都是存在的。

6、反三角函数计算法则中包含一些基本公式，例如arcsin（-x）等于-arcsinx，arccos（-x）等于π减去arccosx，而arccot（-x）则为π减去arccotx。这些公式帮助我们快速计算特定数值的反三角函数值。其中，arctan是反三角函数的一种，表示的是正切函数的逆运算。

x的e次方是基本初等函数吗?

同学你好，根据高等数学第七版，同济版第12页，如图所示，x的e次方是基本初等函数，属于基本初等函数中的幂函数。

例如，e的x次方是一个初等函数，因为它属于基本初等函数。另外，e的x次方加上x的平方也是一个初等函数，这是两个基本初等函数的和。e的x次方与x的平方相乘也是初等函数，这是两个基本初等函数的积。更进一步，e的x的平方次方同样是一个初等函数。

基本初等函数有：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。举例举例说：e的x次方为初等函数，这是基本初等函数，e的x次方+x的平方，是初等函数，这是两个基本初等函数的和，e的x次方*x的平方，这也是初等函数，这是两个基本初等函数的积，甚至e的（x的平方）次方也是初等函数。

e^x是指数函数。以下是关于e^x的详细解释：定义 e^x表示以e为底的指数函数，其中e是数学常数，约等于718281828，也被称为欧拉数或自然对数的底数。指数函数y=a^x（a为常数且a0，a≠1）是基本初等函数之一，而e^x则是当a取值为e时的特殊情况。

简单来说，y=e^x是基本初等函数，而非复合函数。复合函数需要有两个或多个函数通过中间变量连接起来，而y=e^x直接定义了x与y之间的关系，没有涉及中间变量的复合过程。值得注意的是，尽管y=e^x不是复合函数，但它可以与复合函数一起使用。

次方 为初等函数，这是基本初等函数，e的x次方+x的 平方 ，是初等函数，这是两个基本初等函数的和，e的x次方*x的平方，这也是初等函数，这是两个基本初等函数的积，甚至e的（x的平方）次方也是初等函数，这是两个基本初等函数的积，但e的（sinx）次方就不是初等函数。

高中基本初等函数概念

1、初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。不是初等函数的函数，称为非初等函数，如狄利克雷函数和黎曼函数。目前有两种分类方法：数学分析有六种基本初等函数，高等数学只有五种。

2、基本初等函数：上述函数统称为基本初等函数。

3、初等函数定义：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数。